Una ecuación de la forma ax+by+cz=d donde a, b, c y d son números reales, con a, b y c no todos nulos, es una ecuación lineal con tres variables (x, y, z).
1. Elimina una de las incógnitas tomando dos de las tres letras de la ecuación. Para ello se utiliza el método de la suma y resta o combinación lineal.
2. Se utiliza la tercera ecuación que no se utilizó en el paso anterior y con cualquier otra de las ecuaciones se elimina la misma incógnita por el mismo método de combinación lineal.
3. Conforme a los pasos anteriores, quedará un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, las cuales se pueden resolver por el método preferido y así hallar el valor de esas dos incógnitas.
4. Se sustituyen los valores de las dos incógnitas en una de las ecuaciones originales.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
6x-4y-5z=12
4x-2y-3z=8
5x+3y-4z=4
1. Se toman las primeras dos ecuaciones y eliminamos entre ellas la incógnita z (encontrando dos números que al multiplicarlos por sus coeficientes den números iguales) , entonces, primero se multiplican ambos miembros de la ecuación:
3(6x-4y-5z)=3(12)
5(4x-2y-3z)=5(8)
Donde resulta:
18x-12y-15z = 35
20x-10y-15z = 40
2. Se observa que los coeficientes numéricos de la variable z son iguales y del mismo signo, entonces se realiza la resta de una ecuación de la otra oara eliminar dicha incógnita:
18x-12y-15z = 36
-20x+10y+15z = 40
= 2x+2y = 4
= \frac{2x+2y=4}{2}
= x+y=2
3. Si tomamos ahora la segunda y tercera ecuaciones del sistema, entonces, para elimiar la incógnita z primer se multiplica la segunda ecuación por 4 y la tercera por 3:
4(4x-2y-3z)= 4(8)
3(5x+3y-4z)= 3(4)
Donde resulta:
16x-8y-12z = 32
15x+9y-12z = 12
4. Para eliminar la incógnita z se resta la ecuación:
16x-8y-12z = 32
-15x-9y+12z = -12
x-17y = 20
5. De las operaciones anteriores se obtiene el sistema de ecuaciones lineales:
x+y=2
x-17y=20
6. Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales por el método de combinación lineal:
x+y=2
-x+17y=-20
18y = -18
Donde resulta:
\frac{18y=-18}{18}
y = -1
7. Al sustituir 'y' por su valor en la ecuación x+y=2
x+(-1)=2
x-1=2
x=2+1
x=3
8. Para hallar el valor de 'z' se puede utilizar cualquiera de las escuaciones del sistema y sustituir las incógnitas 'x' y 'y' por sus valores obtenidos; para este caso utilizaremos la primera ecuación:
6x-4y-5z = 12
6(3)-4(-1)-5z = 12
18+4-5z = 12
22-5z = 12
-5z = 12 - 22
-5z = -10
-1(-5z) = -1(-10)
5z = 10
z = \frac{10}{5}
z = 2
9. Comprobamos con alguna ecuación del sistema:
4x-2y-3z = 8
4(3)-2(-1)-3(2) = 8
12+2-6 = 8
14 - 6 = 8
8 = 8
Por lo tanto, los valores finales de las incógnitas son:
x = 3
y = -1
z = 2