Repasaremos las leyes con las que se rige el álgebra.
El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes
a^m.a^n = a^{m+n}
Con la definición de potencias se tiene que:
a^3.a^2 = (a.a.a).(a.a)
Donde a aparece cinco veces como factor, por lo tanto:
a^3.a^2 = a^{3+2} = a^5
El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elvada a la diferencia de los exponentes.
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
Con la definición de potencias se tiene que:
\frac{a^4}{a^2} = \frac{a.a.a.a}{a.a}
Al cancelar factores iguales queda:
\frac{a.a.a.a}{a.a} = \frac{a.a}{1}, \frac{a^4}{a^2} = a^{4-2} = a^2
La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los mismos exponentes.
(a^m)^n = a^{m.n}
Con la definición de potencias se tiene que:
(a^3)^4 = a^3.a^3.a^3.a^3
Tomando en cuenta la ley de 1:
a^3.a^3.a^3.a^3 = a^{3+3+3+3} = a^{12}
La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores.
(ab)^n = a^nb^n
Al aplicar la definición de potencia:
(ab)^3 = ab.ab.ab
Aplicando la ley conmutativa:
(ab)^3 = a.a.a.b.b.b
Como la potencia es una multiplicación abreviada queda:
= a^3b^3
Para elevar una fracción a un exponente se eleva el numerador y el denominador de dicho exponente.
\left ( \frac{a}{b} \right )^n = \frac{a^n}{b^n}
\left ( \frac{a}{b} \right )^3
Con la definición de potencias se tiene que:
\left ( \frac{a}{b} \right )^3 = \frac{a.a.a}{b.b.b}
Abreviando la multiplicación de fracciones:
\frac{a^3}{b^3}
En la división de potencias de la misma base y el exponente, se aplica la segunda ley y resulta que:
Todo número diferente de cero con exponente 0 es igual a 1.
\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1